Kultainen suhde on osuus, jota on pidetty täydellisimpänä ja harmonisimpana muinaisista ajoista lähtien. Se muodostaa perustan monille muinaisille rakenteille patsaista temppeleihin, ja se on luonteeltaan hyvin yleinen. Samanaikaisesti tämä osuus ilmaistaan yllättävän tyylikkäissä matemaattisissa rakenteissa.
Ohjeet
Vaihe 1
Kultainen osuus määritellään seuraavasti: se on sellainen segmentin jakaminen kahteen osaan, että pienempi osa viittaa suurempaan samalla tavalla kuin suurempi osa viittaa koko segmenttiin.
Vaihe 2
Jos koko segmentin pituudeksi otetaan 1 ja suurimman osan pituudeksi x, niin etsitty suhde ilmaistaan yhtälöllä:
(1 - x) / x = x / 1.
Kertomalla molemmat puolet suhteesta x: llä ja siirtämällä ehdot, saadaan asteikon yhtälö:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Vaihe 3
Yhtälöllä on kaksi todellista juurta, joista meitä luonnollisesti kiinnostaa vain positiivinen. Se on yhtä suuri kuin (√5 - 1) / 2, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin 0, 618. Tämä luku ilmaisee kultaisen suhteen. Matematiikassa sitä merkitään useimmiten kirjaimella φ.
Vaihe 4
Luvulla φ on useita merkittäviä matemaattisia ominaisuuksia. Esimerkiksi jopa alkuperäisestä yhtälöstä nähdään, että 1 / φ = φ + 1. Todellakin, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Vaihe 5
Toinen tapa laskea kultainen suhde on käyttää ääretöntä murto-osaa. Alkaen mistä tahansa mielivaltaisesta x: stä, voit rakentaa murtoluvun peräkkäin:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
jne.
Vaihe 6
Laskutoimitusten helpottamiseksi tämä murtoluku voidaan esittää iteratiivisena menettelytapana, jossa seuraava vaihe voidaan laskea lisäämällä yksi edellisen vaiheen tulokseen ja jakamalla yksi saadulla luvulla. Toisin sanoen:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Tämä prosessi lähentyy, ja sen raja on φ + 1.
Vaihe 7
Jos korvataan vastavuoroisen laskeminen neliöjuuren poiminnalla, toisin sanoen suoritamme iteratiivisen silmukan:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), silloin tulos pysyy muuttumattomana: riippumatta alun perin valitusta x: stä, iteraatiot yhtenevät arvoon φ + 1.
Vaihe 8
Geometrisesti kultainen suhde voidaan muodostaa käyttämällä säännöllistä viisikulmiota. Jos piirrämme siihen kaksi leikkaavaa diagonaalia, kukin niistä jakaa toisen tiukasti kultaisessa suhteessa. Tämä havainto, legenda mukaan, kuuluu Pythagorasille, joka oli niin järkyttynyt löydetystä kuviosta, että hän piti oikeaa viisikärkistä tähteä (pentagrammi) pyhänä jumalallisena symbolina.
Vaihe 9
Syitä siihen, miksi kultainen suhde tuntuu ihmiselle harmonisimmalta, ei tunneta. Kokeet ovat kuitenkin toistuvasti vahvistaneet, että kohteet, joita käskettiin jakamaan segmentti kahteen epätasaiseen osaan, tekevät sen kauniimmin suhteissa, jotka ovat hyvin lähellä kultaista suhdetta.
